Учащемуся было предложено установить можно ли дробь

Итоговая аттестационная работа

слушателя по дополнительной профессиональной программе

повышения квалификации

«Актуальные проблемы математического образования»

Учитель математики, категория

Смолякова Лилия Нинельевна, высшая квалификационная категория,

(Ф. И. О полностью)

муниципальное общеобразовательное автономное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №2» муниципального образования Ясненский городской округ

Орск 2017

Модуль № 1 «Обучение математическим понятиям как актуальная проблема математического образования»

Технология подготовки учителя к работе с определением понятия на уроке на примере изучения темы «Десятичные дроби»

Содержание §6.30 учебника (Математика. 5 класс: учеб. для общеобразоват. Учреждений / Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И Шварцбурд. – 29-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2011, — 28с.: ил):

Результаты логического анализа определения понятия «Десятичная дробь»

1. Анализ формулировки:

а) Вида определения: описательное.

б) Родовое понятие – число

видовые отличия – дробное число: обыкновенная дробь, в знаменателе которой разрядная единица (10,100,1000 и т.д.), или смешанное число, в знаменателе дробной части которого разрядная единица (10,100,1000 и т.д.), записанные особым способом — с использованием запятой, которая разделяет целую и дробную части, причём, после запятой числитель дробной части должен содержать столько же цифр, сколько нулей в знаменателе.

Наличие кванторов:

— или обыкновенная дробь, или смешанное число, записанные определённым способом

— есть целая и дробная часть, разделённые запятой, и после запятой столько знаков, сколько нулей в знаменателе дробной части.

в) Содержание понятия: любое число, знаменатель дробной части которого выражается единицей с одним или несколькими нулями можно записать в виде десятичной дроби. До запятой пишут 0, если дробь правильная. После запятой числитель дробной части должен иметь столько цифр, сколько нулей в знаменателе.

Объем понятия: все обыкновенные дроби со знаменателем, записанным с помощью единицы с одним или несколькими нулями, все смешанные числа, в знаменателе дробной части которых единица с одним или несколькими нулями, записанные особым способом — с использованием запятой, которая разделяет целую и дробную части.

2. Установление необходимости доказательства существования понятия и способа доказательства.

Понятие «Десятичная дробь» появилось как более удобный способ записи дробных чисел со знаменателем 10,100,1000 и т.д. и упрощение выполнения вычислительных действий с ними.

3. Определение понятия «десятичная дробь» можно переформулировать:

Десятичная дробь это любое число, в записи которого используется запятая. До запятой стоит целая часть, после – дробная часть, содержащая столько цифр, сколько нулей в знаменателе соответствующей ей обыкновенной дроби.

Конструирование возможных эвристик.

— натуральное число можно записать в виде десятичной дроби:

5= = 5, 0

5= = 5, 00

= , значит, 5, 40 = 5,4

4. Составление отрицания определения.

Если в знаменателе не стоит единица с нулем или несколькими нулями, то данную обыкновенную дробь нельзя записать в виде десятичной дроби.( Заметим, что данная формулировка работает только на начальном этапе изучения темы «Десятичные дроби»). Например, нельзя записать в виде конечной десятичной дроби, а — можно.

5. Установление связи между новым понятием и изученными ранее.

— Любое натуральное число можно записать в виде десятичной дроби:

7 = 7,0 =7,00 125=125,000

— Не всякую обыкновенную дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби

нельзя записать в виде конечной десятичной дроби.

— Не всякое смешанное число можно записать в виде конечной десятичной дроби

3 нельзя записать в виде конечной десятичной дроби.

— нуль можно записать в виде десятичной дроби:

0 = =0, 000

6. Классификация системы понятий (разделение множества объектов, составляющих объем родового понятия, на виды по их характеристическим свойствам):

Дидактический анализ определения понятия

«десятичная дробь»

7. Установление новизны для учащихся логической структуры определения и способа ее разъяснения учащимся.

Определение понятия «десятичная дробь» может быть отнесено к неявному виду, т.к. определяется через абстракцию (число).

Вводим данное понятие конкретно-индуктивным способом:

восприятие – представление – понятие – определение.

Для организации восприятия и представления подобран ряд примеров для выявления существенных признаков понятия и с изменениями несущественных.

8. Подбор системы упражнений для актуализации; методика организации повторения.

Актуализация знаний проходит в ходе фронтальной работе по повторению, содержащему следующие темы:

• Три вида задач на дроби:

— Задача на нахождение части от числа.( В магазин привезли картофеля. До обеда продали всего количества. Сколько картофеля продали до обеда? (180 кг) )

— Задача на нахождения всего числа по её части. — Какую часть составляет одно число от другого. (Для украшения актового зала к празднику купили 100 шаров. Среди них 19красных. Какую часть составляют красные шары?())

• -Замена натурального числа обыкновенной дробью, со знаменателей . (Замените число 6 дробью со знаменателями 10. ())

• Действия с обыкновенными дробями.

— 200 солдат построились в ряд.

Все они дружно идут на парад.

было усатых.

Сколько было безусых солдат? (20с)

• Какое число записывается:

а) единицей с четырьмя последующими нулями? (10 000-десять тысяч)

б) единицей с шестью последующими нулями?(1 000 000-миллион)

в) единицей с семью последующими нулями?(10 000 000-десять миллионов)

Особенность подбора задач состоит в том, что в них используются обыкновенные дроби со знаменателем 10,100. Самопроверка ответом позволяет обучающимся оценить себя на этапе повторения по критериям, предложенным на слайде.

9. Подбор материала для создания мотивации, проблемной ситуации. Четкая формулировка учебной задачи.

На слайде записаны дроби:

-Прочитайте дроби.
— Что интересного заметили? (У всех дробей в знаменателе единица и нули)
— На какие две группы их можно разделить? (Правильные и неправильные).

— В XVI веке (1585 г.) нидерландский математик Симон Стевин (слайд) предложил ограничиться в практических задачах только десятичными дробями и придумал для них более короткую и удобную запись, например:

(Возникает проблема)

— Сегодня на уроке мы будем учиться записывать дробные числа по-новому. Запишите тему урока “Десятичная запись дробных чисел” (слайд).
— Но не ко всем обыкновенным дробям можно применить новую запись Кто догадался, к каким?

Эти дроби перед вами.
Полюбуйтесь ими сами.
В знаменателе, смотри –
Единица и нули.

10. Определение способа включения учащихся в учебно-познавательную деятельность по «открытию» нового понятия; выбор способа формулировки определения понятия (дает учитель, формулируют учащиеся, читают по учебнику и др.); выбор способа фиксации определения (в том числе записи на доске и в тетрадях учащихся).

При введении понятия «Десятичная дробь» используем частично-поисковый метод, соблюдая следующую последовательность действий учителя и учащихся:

1. Решаются дидактические упражнения с целью организации наблюдений и
простейшего анализа для выявления закономерности записи обыкновенных дробей со знаменателем 10,100,1000 и т.д.. При этом подобранная система упражнений, полностью раскрывающая структуру понятия.

2. В процессе решения дидактических упражнений учитель ставит
дополнительные вопросы и задания к ним для выяснения всех доступных
учащимся сторон изучаемого понятия, раскрытия зависимостей и
противоречий.

3. На основе наблюдений и анализа решенных заданий, выяснения свойств и
зависимостей изучаемого понятия учащиеся под руководством учителя делают
вывод о формируемом понятии, устанавливают связь изучаемого материала с
ранее изученным и т.п.

4. И, наконец, решают упражнения на применение полученных знаний о
понятии, т.е. перенос знаний на новую ситуацию.

Формулировку понятия «Десятичная дробь» после его открытия учащиеся прочитывают из учебника.

Предлагается работа в группах по выявлению существенных признаков понятия «Десятичная дробь» (наличие целой и дробной части, разделённых запятой; правил чтения в зависимости от числа знаков после запятой)

На слайде появляется перечень действий для перехода от записи обыкновенной дроби или смешанного числа со знаменателем 10,100,1000… к десятичной форме записи числа:

• Уравнять, если необходимо, число цифр после запятой с количеством нулей в знаменателе обыкновенной дроби.

• Записать целую часть (она может быть равна нулю).

• Поставить запятую, отделяющую целую часть от дробной.

Записать числитель дробной части.

При записях на доске и в тетради у обучающихся используем зелённую пасту для самоконтроля по выполнению правила перехода от одной формы записи числа к другой.

Способ записи десятичных дробей является обобщением записи натуральных чисел. В записи натурального числа значение цифры зависит от того, в каком разряде она находится. Единицы двух соседних разрядов отличаются друг от друга в 10 раз.

Для записи десятичных дробей используют новые разряды, которые пишут справа от разряда единицы, поставив после него запятую.

1. й разряд после запятой – десятые доли ();

2. й — сотые доли ();

3. й — тысячные доли и т.д.

Отсутствие единиц в разряде обозначается нулями.

При чтении десятичной дроби сначала называют её часть, стоящую до запятой с добавлением «целых», а затем часть, стоящую после запятой, с добавлением последнего разряда.

Из приведенных примеров (в начале урока) видно, что в десятичной дроби после запятой стоит столько же цифр, сколько цифр в числителе соответствующей ей обыкновенной дроби.

Например, три цифры и в её десятичной записи три знака после запятой.

В этих примерах есть ещё одна особенность: в числителях дробей столько же цифр, сколько нулей в знаменателе. А как быть в случае, когда это не так?

Например, 

Это несложно, если применить маленькую «математическую хитрость»: разрешить приписывать нули к натуральному числу слева, считая что оно не изменится

Например, 72 = 072 = 0072 = ….

2 нуля 2 знака 5 нулей 5 знаков

Таким образом, для дробей, имеющих знаменатель 1 с нулями, можно пользоваться следующим алгоритмом.

1. Уравнять, если необходимо, число цифр в числителе с числом нулей в знаменателе.

2. Записать целую часть.

3. поставить запятую отделяющую целую часть от дробной.

4. Записать числитель дробной части.

Например, 

Знаки, стоящие в десятичной дроби после запятой, называются десятичными знаками. По числу десятичных знаков можно узнать чему равен знаменатель дроби.

Например, 7,025 имеет 3 десятичных знака, значит в знаменателе должно быть 3 нуля, т.е. 1000.

Таким образом, десятичная запись числа указывает его целую часть, числитель и знаменатель. Поэтому любую десятичную дробь легко записать в виде обыкновенной дроби (простой или смешанной).

Например, 

0, 35 = 

Приписывание одного, двух и т.д. нулей к знакам, стоящим после запятой, не изменяет десятичной дроби, т.к. является по сути умножением числителя и знаменателя соответствующей обыкновенной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.

Например,  0,7 = 0,70 = 0,700 = …

9,8 = 9,80 = …

Это означает, в частности, что натуральное число также можно представить в виде десятичной дроби, и при этом бесконечным числом способов.

Например, 31 = 31,0 = 31,00 = …

11. Конструирование упражнений на осознание логической структуры определения.

Посмотрите на таблицу (слайд).

— Какую закономерность вы заметили? (количество нулей совпадает с количеством цифр после запятой)
— Как же вы запишите последние числа? (выберите верный вариант)

А. 0,037
Б. 0,0037
В. 0,37

А. 3,5216
Б. 0,035216
В. 0,35216

— Итак, проблема была, как записать обыкновенные дроби, смешанные числа – по-новому.

• Уравнять, если необходимо, число цифр после запятой

с числом нулей в знаменателе..

• Записать целую часть (она может быть равна нулю).

• Поставить запятую, отделяющую целую часть от дробной.

• Записать числитель дробной части.

12. Конструирование упражнений на формирование умения подводить объект под понятие:

— на узнавание объекта по вербальной (словесной) форме задания, в этих «ошибочных» определениях обычно заменяют родовое понятие, изменяют видовые отличия или логические связки между ними, пропускают существенные слова и т. д.;

— на узнавание объекта по невербальной (графической, символической) форме задания.

№1. Прочитайте десятичные дроби: 0,15; 1, 03; 23,156; 702, 0054

№2. Запишите десятичные дроби ( под диктовку учителя):

1) 2, 8; 2) 3,74; 3) 1,371; 4) 0,55; 5) 687, 02; 6) 145,003;

7) 20,036; 8) 201,0101; 9) 6,006; 10) 33,0008.

№3

В России впервые о десятичных дробях было сказано в русском учебнике математики – “Арифметике”. Мы сможем узнать его автора, если запишем дроби и смешанные числа десятичными дробями. (Смешанные числа записаны на доске, а десятичные дроби — на карточках, на обратной стороне которых – буква. В ходе выполнения задания учащиеся составляют слово.)

(М)
(А)
(Г)
(Н)
(И)
(Ц)
(К)
(И)
(Й)

МАГНИЦКИЙ

Магницкий Леонтий Филиппович — автор первого учебника математики в России «Арифметика» (1703 г.), по которому учился М.В.Ломоносов (слайд).

“Что есть арифметика? Арифметика — есть художество честное, независтное, и всем удобоятное, многополейзнейшее, и многопохвальнейшее от древних же и новейших, в разные времена явившихся изряднейших арифматиков”.

— Как вы понимаете эти слова?

Историческая справка.

— Правила вычислений с десятичными дробями описал знаменитый ученый средневековья Аль-Каши в начале XV веке. Он записывал десятичные дроби так же, как принято сейчас, но вместо запятой дробную часть записывал красными чернилами или отделял вертикальной чертой.

(Слайд) 28 43 или

13. Формулировка частных эвристик, позволяющих подводить объект под понятие.

Для обыкновенной дроби, смешанного или натурального числа можно заметить что

— если есть в знаменателе только единица с нулями — записывай десятичную дробь

-если есть натуральное число – ставь в конце него запятую и приписывай любое количество нулей

14. Конструирование упражнений на овладение действием отыскания следствий на этапе «осознание, осмысление».

Работа в тетради (самостоятельно) на слайде записаны дроби

Задание:

— Выпишите в тетрадь правильные дроби (в столбик). Замените их десятичными дробями.

Проверка (слайд)

— Теперь выпишите неправильные дроби и замените их десятичными.

Проверка (слайд)

2. Упражнение, направленное на формирование умения читать десятичные дроби.

Инсценировка: Ученики примерно одинакового роста крепят на грудь бумажные плакаты с написанными на них цифрами. У того ученика, который ниже всех ростом, на плакате знак запятой. “Запятая” перебегает на различные места в ряду учеников — цифр, а сидящие в классе читают получившиеся числа.

Например,

Вопросы для подведения итогов урока.

— Какую обыкновенную дробь можно заменить

десятичной?
— Как называют число, записанное перед запятой?
— Как называют число, записанное после запятой?
— Как определить, сколько знаков должно быть после запятой?
— Сколько знаков будет после запятой, если знаменатель 10, 100, 1000, 10000?

— Как записать натуральное число в виде десятичной дроби?

— Как называют первый, второй, третий и т.д. после запятой разряд десятичной дроби?