Есть ли такое число которое можно возвести в квадрат

Быстрое возведение чисел в квадрат без калькулятора

21 сентября 2013

Сегодня мы научимся быстро без калькулятора возводить большие выражения в квадрат. Под большими я подразумеваю числа в пределах от десяти до ста. Большие выражения крайне редко встречаются в настоящих задачах, а значения меньше десяти вы и так умеете считать, потому что это обычная таблица умножения. Материал сегодняшнего урока будет полезен достаточно опытным ученикам, потому что начинающие ученики просто не оценят скорость и эффективность этого приема.

Для начала давайте разберемся вообще, о чем идет речь. Предлагаю для примера сделать возведение произвольного числового выражения, как мы обычно это делаем. Скажем, 34. Возводим его, умножив само на себя столбиком:

[{{34}^{2}}=s frac{34}{frac{34}{+frac{136}{frac{102}{1156}}}}]

1156 — это и есть квадрат 34.

Проблему данного способа можно описать двумя пунктами:

1) он требует письменного оформления;

2) в процессе вычисления очень легко допустить ошибку.

Сегодня мы научимся быстрому умножению без калькулятора, устно и практически без ошибок.

Итак, приступим. Для работы нам потребуется формула квадрата суммы и разности. Давайте запишем их:

[{{(a+b)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}]

[{{(a-b)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}]

Что нам это дает? Дело в том, что любое значение в пределах от 10 до 100 представимо в виде числа $a$, которое делится на 10, и числа $b$, которое является остатком от деления на 10.

Например, 28 можно представить в следующем виде:

[begin{align}& {{28}^{2}} \& 20+8 \& 30-2 \end{align}]

Аналогично представляем оставшиеся примеры:

[begin{align}& {{51}^{2}} \& 50+1 \& 60-9 \end{align}]

[begin{align}& {{42}^{2}} \& 40+2 \& 50-8 \end{align}]

[begin{align}& {{42}^{2}} \& 40+2 \& 50-8 \end{align}]

[begin{align}& {{77}^{2}} \& 70+7 \& 80-3 \end{align}]

[begin{align}& {{21}^{2}} \& 20+1 \& 30-9 \end{align}]

[begin{align}& {{26}^{2}} \& 20+6 \& 30-4 \end{align}]

[begin{align}& {{39}^{2}} \& 30+9 \& 40-1 \end{align}]

[begin{align}& {{81}^{2}} \& 80+1 \& 90-9 \end{align}]

Что дает нам такое представление? Дело в том, что при сумме или разности, мы можем применить вышеописанные выкладки. Разумеется, чтобы сократить вычисления, для каждого из элементов следует выбрать выражение с наименьшим вторым слагаемым. Например, из вариантов $20+8$ и $30-2$ следует выбрать вариант $30-2$.

Аналогично выбираем варианты и для остальных примеров:

[begin{align}& {{28}^{2}} \& 30-2 \end{align}]

[begin{align}& {{51}^{2}} \& 50+1 \end{align}]

[begin{align}& {{42}^{2}} \& 40+2 \end{align}]

[begin{align}& {{77}^{2}} \& 80-3 \end{align}]

[begin{align}& {{21}^{2}} \& 20+1 \end{align}]

[begin{align}& {{26}^{2}} \& 30-4 \end{align}]

[begin{align}& {{39}^{2}} \& 40-1 \end{align}]

[begin{align}& {{81}^{2}} \& 80+1 \end{align}]

Почему следует стремиться к уменьшению второго слагаемого при быстром умножении? Все дело в исходных выкладках квадрата суммы и разности. Дело в том, что слагаемое $2ab$ с плюсом или с минусом труднее всего считается при решении настоящих задач. И если множитель $a$, кратный 10, всегда перемножается легко, то вот с множителем $b$, который является числом в пределах от одного до десяти, у многих учеников регулярно возникают затруднения.

Можете самостоятельно попробовать рассчитать оба разложения, и вы убедитесь, что разложение с наименьшим вторым слагаемым считается проще. А мы перейдем к примерам, которые посчитаем без калькулятора:

[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784]

[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601]

[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764]

[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929]

[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441]

[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676]

[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521]

[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561]

Вот так за три минуты мы сделали умножение восьми примеров. Это меньше 25 секунд на каждое выражение. В реальности после небольшой тренировки вы будете считать еще быстрее. На подсчет любого двухзначного выражения у вас будет уходить не более пяти-шести секунд.

Но и это еще не все. Для тех, кому показанный прием кажется недостаточно быстрым и недостаточно крутым, предлагаю еще более быстрый способ умножения, который однако работает не для всех заданий, а лишь для тех, которые на единицу отличаются от кратных 10. В нашем уроке таких значений четыре: 51, 21, 81 и 39.

Казалось бы, куда уж быстрее, мы и так считаем их буквально в пару строчек. Но, на самом деле, ускориться можно, и делается это следующим образом. Записываем значение, кратное десяти, которое наиболее близкое нужному. Например, возьмем 51. Поэтому для начала возведем пятьдесят:

[{{50}^{2}}=2500]

Значения, кратные десяти, поддаются возведению в квадрат намного проще. А теперь к исходному выражению просто добавляем пятьдесят и 51. Ответ получится тот же самый:

[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601]

И так со всеми числами, отличающимися на единицу.

Если значение, которое мы ищем, больше, чем то, которое мы считаем, то к полученному квадрату мы прибавляем числа. Если же искомое число меньше, как в случае с 39, то при выполнении действия, из квадрата нужно вычесть значение. Давайте потренируемся без использования калькулятора:

[{{21}^{2}}=400+20+21=441]

[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521]

[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561]

Как видите, во всех случаях ответы получаются одинаковыми. Более того, данный прием применим к любым смежным значениям. Например:

[begin{align}& {{26}^{2}}=625+25+26=676 \& 26=25+1 \end{align}]

При этом нам совсем не нужно вспоминать выкладки квадратов суммы и разности и использовать калькулятор. Скорость работы выше всяких похвал. Поэтому запоминайте, тренируйтесь и используйте на практике.

Ключевые моменты

С помощью этого приема вы сможете легко делать умножение любых натуральных чисел в пределах от 10 до 100. Причем все расчеты выполняются устно, без калькулятора и даже без бумаги!

Для начала запомните квадраты значений, кратных 10:

[begin{align}& {{10}^{2}}=100,{{20}^{2}}=400,{{30}^{2}}=900,…, \& {{80}^{2}}=6400,{{90}^{2}}=8100. \end{align}]

Далее — выкладки квадрата суммы или разности, в зависимости от того, к какому опорному значению ближе наше искомое выражение. Например:

[begin{align}& {{34}^{2}}={{(30+4)}^{2}}={{30}^{2}}+2cdot 30cdot 4+{{4}^{2}}= \& =900+240+16=1156; \end{align}]

[begin{align}& {{27}^{2}}={{(30-3)}^{2}}={{30}^{2}}-2cdot 30cdot 3+{{3}^{2}}= \& =900-180+9=729. \end{align}]

Как считать еще быстрее

Но это еще не все! С помощью данных выражений моментально можно сделать возведение в квадрат чисел, «смежных» с опорными. Например, мы знаем 152 (опорное значение), а надо найти 142 (смежное число, которое на единицу меньше опорного). Давайте запишем:

[begin{align}& {{14}^{2}}={{15}^{2}}-14-15= \& =225-29=196. \end{align}]

Обратите внимание: никакой мистики! Квадраты чисел, отличающиеся на 1, действительно получаются из умножения самих на себя опорных чисел, если вычесть или добавить два значения:

[begin{align}& {{31}^{2}}={{30}^{2}}+30+31= \& =900+61=961. \end{align}]

Почему так происходит? Давайте запишем формулу квадрата суммы (и разности). Пусть $n$ — наше опорное значение. Тогда они считаются так:

[begin{align}& {{(n-1)}^{2}}=(n-1)(n-1)= \& =(n-1)cdot n-(n-1)= \& =={{n}^{2}}-n-(n-1) \end{align}]

— это и есть формула.

[begin{align}& {{(n+1)}^{2}}=(n+1)(n+1)= \& =(n+1)cdot n+(n+1)= \& ={{n}^{2}}+n+(n+1) \end{align}]

— аналогичная формула для чисел, больших на 1.

Надеюсь, данный прием сэкономит вам время на всех ответственных контрольных и экзаменах по математике. А у меня на этом все. До встречи!

Смотрите также:

1. Что такое числовая дробь
2. Задача B1 — время, числа и проценты
3. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 7 (без производных)
4. Специфика работы с логарифмами в задаче B15
5. Задача C1: тригонометрия и показательная функция — 1 вариант

Источник

Быстрое возведение чисел от 1 до 100 в квадрат

Вдохновленный этой статьей, решил поделиться с вами способом быстрого возведения в квадрат. Возведение в квадрат более редкая операция, нежели умножение чисел, но под нее существуют довольно интересные правила.

*квадраты до сотни

Для того, чтобы бездумно не возводить в квадрат по формуле все числа, нужно максимально упростить себе задачу следующими правилами.

Правило 1 (отсекает 10 чисел)

Для чисел, оканчивающихся на 0.

Если число заканчивается на 0, умножить его не сложнее, чем однозначное число. Стоит лишь дописать пару нулей.

70 * 70 = 4900.

В таблице отмечены красным.

Правило 2 (отсекает 10 чисел)

Для чисел, оканчивающихся на 5.

Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно умножить первую цифру (x) на (x+1) и дописать к результату «25».

75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.

В таблице отмечены зеленым.

Правило 3 (отсекает 8 чисел)

Для чисел от 40 до 50.

XX * XX = 1500 + 100 * вторую цифру + (10 — вторая цифра)^2

Достаточно трудно, верно? Давайте разберем пример:

43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 — 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.

В таблице отмечены светло-оранжевым.

Правило 4 (отсекает 8 чисел)

Для чисел от 50 до 60.

XX * XX = 2500 + 100 * вторую цифру + (вторая цифра)^2

Тоже достаточно трудно для восприятия. Давайте разберем пример:

53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.

В таблице отмечены темно-оранжевым.

Правило 5 (отсекает 8 чисел)

Для чисел от 90 до 100.

XX * XX = 8000+ 200 * вторую цифру + (10 — вторая цифра)^2

Похоже на правило 3, но с другими коэффициентами. Давайте разберем пример:

93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 — 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.

В таблице отмечены темно-темно-оранжевым.

Правило №6 (отсекает 32 числа)

Необходимо запомнить квадраты чисел до 40. Звучит дико и трудно, но на самом деле до 20 большинство людей знают квадраты. 25, 30, 35 и 40 поддаются формулам. И остается лишь 16 пар чисел. Их уже можно запомнить при помощи мнемоники (о которой я также хочу рассказать позднее) или любыми другими способами. Как таблицу умножения 🙂

В таблице отмечены синим.

Вы можете запомнить все правила, а можете запомнить выборочно, в любом случае все числа от 1 до 100 подчиняются двум формулам. Правила же помогут, не используя эти формулы, быстрее посчитать больше 70% вариантов. Вот эти две формулы:

Формулы (осталось 24 числа)

Для чисел от 25 до 50

XX * XX = 100(XX — 25) + (50 — XX)^2

Например:

37 * 37 = 100(37 — 25) + (50 — 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

Для чисел от 50 до 100

XX * XX = 200(XX — 50) + (100 — XX)^2

Например:

67 * 67 = 200(67 — 50) + (100 — 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

Конечно не стоит забывать про обычную формулу разложения квадрата суммы (частный случай бинома Ньютона):

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. 56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

UP

Произведения чисел, близких к 100, и, в частности, их квадраты, также можно вычислять по принципу «недостатков до 100»:

Словами: из первого числа вычитаем «недостаток» второго до сотни и приписываем двузначное произведение «недостатков».

Для квадратов, соответственно, еще проще.

92*92 = (92-8)*100+8*8 = 8464

(от sielover)

Возведение в квадрат, возможно, не самая полезная в хозяйстве вещь. Не сразу вспомнишь случай, когда может понадобиться квадрат числа. Но умение быстро оперировать числами, применять подходящие правила под каждое из чисел отлично развивает память и «вычислительные способности» вашего мозга.

Кстати, думаю, все читатели хабры знают, что 64^2 = 4096, а 32^2 = 1024.

Многие квадраты чисел запоминаются на ассоциативном уровне. Например, я легко запомнил 88^2 = 7744, из-за одинаковых чисел. У каждого наверняка найдутся свои особенности.

Две уникальные формулы я впервые нашел в книге «13 steps to mentalism», которая мало связана с математикой. Дело в том, что раньше (возможно, и сейчас) уникальные вычислительные способности были одним из номеров в сценической магии: фокусник рассказывал байку о том, как он получил сверхспособности и в доказательство этого моментально возводит числа до сотни в квадрат. В книге так же указаны способы возведения в куб, способы вычитания корней и кубических корней.

Если тема быстрого счета интересна — буду писать еще.

Замечания об ошибках и правки прошу писать в лс, заранее спасибо.

Источник

Что такое квадратный корень

Что такое квадратный корень

Определение арифметического квадратного корня ясности не добавляет, но заучить его стоит:

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Определение квадратного корня также можно представить в виде формул:

√a = x

x2 = a

x ≥ 0

a ≥ 0

Из определения следует, что a не может быть отрицательным числом. То есть то, что стоит под корнем — обязательно положительное число.

Чтобы разобраться, почему именно так и никак иначе, давайте рассмотрим пример.

Попробуем найти корень из √-16

Здесь логично предположить, что 4, но давайте проверим: 4*4 = 16 — не сходится.

Если — 4, то -4 * -4 = 16, (минус на минус всегда дает плюс).

Получается, что ни одно число не может дать отрицательный результат при возведении его в квадрат.

Числа, стоящие под знаком корня, должны быть положительными.

Исходя из определения, значение корня также не должно быть отрицательным.

Здесь могут возникнуть резонные вопросы, почему, например, в примере x2 = 16, x = 4 и x = -4.

Чтобы вопросы отпали, и все встало на свои места, нужно разобраться, в чем разница между квадратным уравнением и арифметическим квадратным корнем. В детской школе Skysmart ученики вникают в тонкости математической вселенной вместе с красочными героями комиксов и в интерактивном формате.

Приходите вместе с ребенком на бесплатный вводный урок: познакомимся и покажем, как решать задачки весело и эффективно.

Разница между квадратным корнем и арифметическим квадратным уравнением

Прежде всего, чтобы разграничить эти два понятия, запомните:

• x2 = 16 не равно x = √16.

Это два нетождественных друг другу выражения.

• x2 = 16 — это квадратное уравнение.
• x = √ 16 — арифметический квадратный корень.

Из выражения x2 = 16 следует, что:

• |x| = √16, это значит, что x = ±√16 = ±4, x1 = 4, x2 = -4.

Если две вертикальные палочки возле x вводят вас в замешательство, почитайте нашу статью о модуле числа.

В то же самое время, из выражения x = √16 следует, что x = 4.

Если ситуация все еще кажется запутанной и нелогичной, просто запомните, что отрицательное число может быть решением только в квадратном уравнении. Если в решении «минус» — есть два варианта:

1. Пример решен неверно
2. Это квадратное уравнение.

Если вы извлекаете квадратный корень из числа, то можете быть уверены, вас ждет «положительный» результат.

Давайте рассмотрим пример, чтобы окончательно выяснить разницу между квадратным корнем и квадратным уравнением.

Даны два выражения:

1. x2 = 36
2. x = √36

Первое выражение — квадратное уравнение.

|x| = √36

x1 = +6

x2 = -6.

Второе выражение — арифметический квадратный корень.

√36 = 6

x = 6.

Мы видим, что результатом решения первого выражения стали два числа — отрицательное и положительное. А во втором случае — только положительное.

Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня

Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби.

Чаще всего, иррациональные числа можно встретить в виде корней, логарифмов, степеней и т.д.

Примеры иррациональных чисел:

√2 = 1,414213…;

π = 3,141592…;

e = 2,718281…. .

Чтобы упростить запись иррациональных чисел, математики ввели понятие квадратного корня. Давайте разберем пару примеров, чтобы увидеть квадратный корень в деле.

Дано уравнение: x2 = 2.

Сразу сталкиваемся с проблемой, поскольку очевидно, что ни одно целое число не подходит.

Переберем числа, чтобы удостовериться в этом:

1 * 1 = 1,

2 * 2 = 4,

3 * 3 = 9.

Отрицательные числа дают такой же результат. Значит результатом решения не могут быть целые числа.

Решение следующее:

Строим график функции y = x2.

Отмечаем решения на графике: -√2; √2.

Если попробовать извлечь квадратный корень из 2 с помощью калькулятора, то результат будет следующий: √2 = 1,414213… .

В таком виде ответ не записывают — нужно оставить квадратный корень.

x2 = 2.

x = √2

x = -√2.

Извлечение корней

Решать примеры с квадратными корнями намного легче, если запомнить как можно больше квадратов чисел. Для этого воспользуйтесь таблицей — сохраните ее себе и используйте для решения задачек.

Таблица квадратов

Вот несколько примеров извлечения корней, чтобы научиться пользоваться таблицей:

• 1. Извлеките квадратный корень: √289

Ищем в таблице число 289, двигаемся от него влево и вверх, чтобы определить цифры, образующие нужное нам число.

Влево — 1, вверх — 7.

Ответ: √289 = 17.

• 2. Извлеките квадратный корень: √3025

Ищем в таблице число 3025.

Влево — 5, вверх — 5.

Ответ: √3025 = 55.

• 3. Извлеките квадратный корень: √7396

Ищем в таблице число 7396.

Влево — 8, вверх — 6.

Ответ: √7396 = 86.

• 4. Извлеките корень: √9025

Ищем в таблице число 9025.

Влево — 9, вверх — 5.

Ответ: √9025 = 95.

• 5. Извлеките корень √1600

Ищем в таблице число 1600.

Влево — 4, вверх — 0.

Ответ: √1600 = 40.

Извлечением корня называется нахождение его значение.

Свойства арифметического квадратного корня

У арифметического квадратного корня есть 3 свойства — их нужно запомнить, чтобы проще решать примеры.

Давайте потренируемся и порешаем примеры на все три свойства. Не забывайте обращаться к таблице квадратов. Попробуйте решить примеры самостоятельно, а для проверки обращайтесь к ответам.

Умножение арифметических корней

Для умножения арифметических корней используйте формулу:

Примеры:

Внимательно посмотрите на второе выражение и запомните, как записываются такие примеры.

Если нет возможности извлечь корни из чисел, то поступаем так:

4. Если множителей больше двух, то решается примерно точно так, как и с двумя множителями:

Добрая напоминалочка

Чтобы решать примеры быстрее, не забывайте пользоваться таблицей квадратов.

Деление арифметических корней

Для деления арифметических корней используйте формулу:

Примеры:

1. Ответ: смешанную дробь превращаем в неправильную (16 * 3) + 1 = 49

Выполняя деление, не забывайте сокращать множители. При делении арифметических корней, используйте правила преобразования обыкновенных дробей.

Возведение арифметических корней в степень

Для возведения арифметического корня в степень используйте формулу:

Примеры:

Эти две формулы нужно запомнить:

• (√a)2 = a
• √a2 = |a|

Повторите свойства степеней, чтобы без труда решать такие примеры.

Внесение множителя под знак корня

Вы уже умеете по-всякому крутить и вертеть квадратными корнями: умножать, делить, возводить в степень. Богатый арсенал, не правда ли? Осталось овладеть еще парой приемов и можно без страха браться за любую задачку.

А теперь давайте разберемся, как вносить множитель под знак корня.

Дано выражение: 7√9

Число семь умножено на квадратный корень из числа девять.

Извлечем квадратный корень и умножим его на 7.

√9= 3.

7√9 = 7*3 = 21

В данном выражение число 7 — множитель. Давайте внесем его под знак корня.

Запомните, что вносить множитель под знак корня обязательно нужно так, чтобы значение исходного выражения осталось неизменным. Иными словами, после наших манипуляций с корнем, значение выражения должно по-прежнему оставаться 21.

Вы помните, что (√a)2 = a

Тогда число 7 должно быть возведено во вторую степень. В этом случае значение выражения останется тем же.

7√9 = √72* 9 = √49 * 9 = √49 * √9 = 7 * 3 = 21.

Формула внесения множителя под знак корня:

• a√b = √a2 * b

Запоминаем:

Нельзя вносить отрицательные числа под знак корня.

Потренируемся вносить множители. Попробуйте решить примеры самостоятельно, сверяясь с ответами.

Вынесение множителя из-под знака корня

С тем, как вносить множитель под корень мы, кажется, разобрались. Но алгебра — такая алгебра, поэтому теперь неплохо бы и вынести множитель из-под знака корня.

Дано выражение в виде квадратного корня из произведения.

Вы уже наверняка без труда извлекаете квадратный корень из чего угодно, поэтому знаете, что делать.

Извлекаем корень из всех имеющихся множителей.

В данном выражении квадратный корень мы можем извлечь только из 4, поэтому:

Таким образом множитель выносится из-под знака корня.

Давайте разберем примеры. Попробуйте вынести множители из-под знака корня самостоятельно, сверяясь с ответами.

1. √28

   Раскладываем подкоренное выражение на множители 28 = 7*4.

   Извлекаем корень из 4. Множитель 7 оставляем под знаком корня.

2. Ответ: по правилу извлечения квадратного корня из произведения,

   Так как вынесенный множитель должен стоять перед подкоренным знаком, то меняем их местами.

3. Вынесите множитель из-под знака корня в выражении: √24

   Ответ: Раскладываем выражение под корнем на множители 24 = 6 * 4.

4. Упростите выражение:

   Вынесем в двух последних выражения множитель из-под знака корня.

   Умножаем (-4 * 4) = -16. Все остальное выражение записываем в неизменном виде.

   Мы видим, что во всем выражении есть один общий множитель — √5.

   Выносим общий множитель за скобки:

   Далее вычисляем все, что в скобках:

Давайте тренироваться вместе: в современном формате и под присмотром внимательных учителей. Учиться в удовольствие — это реально.

Запишите ребенка на бесплатный урок математики в Skysmart: покажем, как все устроено на платформе и поможем ребенку поверить в себя.

Сравнение квадратных корней

Мы почти досконально разобрали арифметический квадратный корень, научились умножать, делить и возводить его в степень. Теперь вы без труда можете вносить множители под знак корня и выносить их оттуда. Осталось научиться сравнивать корни и стать непобедимым теоретиком.

Итак, чтобы понять, как сравнить два квадратных корня, нужно запомнить пару правил.

Если:

• √a < √b, то a < b
• √a = √b, то a = b

Давайте разберем на примере.

Сравните два выражения: √70 и 8√2

Первым делом преобразуем второе выражение: 8√2 = √64 * √2 = √64*2 = √128.

70 < 128.

Это значит, что √70 < 8√2.

Запоминаем

Чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень.

Потренируйтесь в сравнении корней. Сверяете свои результаты с ответами.

1. Сравните два выражения: √50 и 9√5

   Ответ: преобразовываем выражение 9√5.

   9√5 = √81 * √5 = √81*5 = √405

   50 < 405

   Это значит, что √50 < 9√5.

2. Сравните два выражения: 6√5 и √18

   Ответ: преобразовываем выражение 6√5.

   6√5 = √36 * √5 = √36*5= √180

   180 > 18

   Это значит, что 6√5 > √18.

3. Сравните два выражения: 7√12 и √20

   Ответ: преобразовываем выражение 7√12.

   7√12 = √49 * √12 = √49*12 = √588

   588 >20

   Это значит, что 7√12 > √20.

Как видите, ничего сложного в сравнении арифметических квадратных корней нет.

Самое главное — выучить формулы и сверяться с таблицей квадратов, если значения корня слишком большие для легкого вычисления в уме.

Не бойтесь пользоваться вспомогательными материалами. Математика просто создана для того, чтобы окружить себя подсказками и намеками.

Когда вы почувствуете, что уже достаточно натренировались в решении примеров с квадратными корнями, можете позволить себе время от времени прибегать к помощи онлайн-калькуляторов. Они помогут решать примеры быстрее и быть эффективнее.

Таких калькуляторов в интернете много, вот один из них.

Извлечение квадратного корня из большого числа

Вы уже наверняка познакомились и подружились с таблицей квадратов. Она — ваша правая рука. С ее помощью вы реактивно решаете примеры и, возможно, даже подумываете запомнить ее наизусть.

Но, как вы можете заметить, таблица заканчивается на числе 9801. А это, согласитесь, не самое крупное число из тех, что могут вам попасться в примере.

Чтобы извлечь корень из большого числа, которое отсутствует в таблице квадратов, нужно:

1. Определить «сотни», между которыми оно стоит.
2. Определить «десятки», между которыми оно стоит.
3. Определить последнюю цифру в этом числе.

Извлечь корень из большого числа можно разными способами — вот один из них.

Извлечем корень из √2116.

Наша задача в том, чтобы определить между какими десятками стоит число 2116.

102 = 100

202 = 400

302 = 900

402 = 1600

502 = 2500

Мы видим что, 2116 больше 1600, но меньше 2500.

Это значит, что число 2116 находится между 402и 502.

41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49.

Запомните лайфхак по вычислению всего на свете, что нужно возвести в квадрат.

Не секрет, что на последнем месте в любом числе может стоять только одна цифра от 1 до 0.

Как пользоваться таблицей

12 = 1

22 = 4

32 = 9

42 = 16 ⇒ 6

52 = 25 ⇒ 5

62 = 36 ⇒ 6

72 = 49 ⇒ 9

82 = 64 ⇒ 4

92 = 81 ⇒ 1

Мы знаем, что число 41, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 1.

Число, 42, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 4.

Число 43, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — 9.

Такая закономерность позволяет нам без записи «перебрать» все возможные варианты, исключая те, которые не дают нужную нам цифру 6 на конце.

Таким образом, у нас остаются два варианта: 442 и 462.

Далее вычисляем: 44 * 44 = 1936.

46 * 46 = 2116.

Ответ: √2116 = 46

Если такой способ показался не до конца понятным — можно потратить чуть больше времени и разложить число на множители. Если решить все правильно, получим такой же результат.

Еще пример. Извлечем корень из числа √11664

Разложим число 11664 на множители:

11666 : 4 = 2916

2916 : 4 = 729

729 : 3 = 243

243 : 3 = 81

Запишем выражение в следующем виде:

Извлечь квадратный корень из большого числа гораздо проще с помощью калькулятора. Но знать парочку таких способов «на экстренный случай» точно не повредит. Например, для контрольной или ЕГЭ.

Чтобы закрепить все теоретические знания, давайте ещё немного поупражняемся в решении примеров на арифметические квадратные корни.

• 1. Вычислите значение квадратного корня: √36
• 2. Вычислите значение квадратного корня: √64*36
• 3. Вычислите значение квадратного корня:
• 4. Вычислите значение квадратного корня:
• 5. Вычислите значение квадратного корня:
• 6. Вычислите значение выражения: 4√16 — 12
• 7. Вычислите значение выражения: 5√9 — 8
• 8. Вычислите значение выражения: 7√25 — 10
• 9. Вычислите значение квадратного корня:
• 10. Вычислите значение квадратного уравнения:
• 11. Вычислите значение квадратного уравнения:
• 12. Извлеките квадратный корень из числа √7056 удобным вам способом

  Как решаем:

  7056	4
  1764	4
  441	3
  147	3
  49	7
  7	7
  1

• 13. Вычислите значение квадратного корня √0,81

  Ответ: √0,81 = 0,9

• 14. Вычислите значение квадратного корня:

  Как решаем: = 0,09

• 15. Вычислите значение выражения: 8√81 — 20

  Как решаем: 8√81 — 20 = 8 * 9 — 20 = 72 — 20 = 52

  Ответ: 8√81 — 20 = 52.

• 16. Вычислите значение выражения: 13√100 — 15

  Как решаем: 13√100 — 15 = 13 * 10 — 15 = 130 — 15 = 115

  Ответ: 13√100 — 15 = 115.

• 17. Вычислите значение выражения: √16 + 5√4

  Как решаем: √16 + 5√4 = 4 + 5 * 4 = 4 + 20 = 24 Ответ: √16 + 5√4 = 24.

• 18. Вычислите значение выражения: √36 + 2√9

  Как решаем: √36 + 2√9 = 6 + 2 * 3 = 6 + 6 = 12

  Ответ: √36 + 2√9 = 12.

• 19. Вычислите значение выражения: 2√16 — 3√25

  Как решаем: 2√16 — 3√25 = 2 * 4 — 3 * 5 = 8 — 15 = -7

  Ответ: 2√16 — 3√25 = -7.

• 20. Вычислите значение выражения: 3√81 — 5√9

  Как решаем: 3√81 — 5√9 = 3*9 — 5 * 3 = 27 — 15 = 12

  Ответ: 3√81 — 5√9 = 12.

• 21. Вынесите множитель из-под знака корень: √60

  Как решаем: √60 = √15 * √4 = 2√15

  Ответ: √60 = 2√15.

• 22. Вынесите множитель из-под знака корень: √160

  Как решаем: √160 = √16 * √10 = 4√10

  Ответ: √160 = 4√10.

• 23. Внесите множитель под знак корня: 6√7

  Как решаем: √62 * 7 = √36 * √7 = √252

  Ответ: 6√7 = √252.

• 24. Внесите множитель под знак корня: 8√2

  Как решаем: 8√2 = √82 * 2 = √64 * √2 = √128 Ответ: 8√2 = √128.

• 25. Внесите множитель под знак корня: 9√5

  Как решаем: 9√5 = √92 * 5 = √81 * √5 = √405

  Ответ: 9√5 = √405.

• 26. Упростите выражение: (5 — √2)2

  Как решаем: (5 — √2)2 = 52 — 2 * 5 * √2 + (√2)2 = 25 — 10√2 + 2 = 27 — 10√2.

  Ответ: (5 — √2)2 = 27 — 10√2.

• 27. Вычислите значение выражения: 3√49 — 3√25

  Как решаем: 3√49 — 3√25 = 3 * 7 — 3 * 5 = 21 — 15 = 6

  Ответ: 3√49 — 3√25 = 6.

• 28. Вычислите значение квадратного корня: √484 * √576

  Как решаем: √484 * √576 = 22 * 24 = 528

  Ответ: √484 * √576 = 528.

• 29. Вычислите значение квадратного корня: √625 * √81

  Как решаем: √625 * √81 = 25 * 9 = 225

  Ответ: √625 * √81 = 225.

• 30. Найдите значение выражения: 3√100 — √144

  Как решаем: 3100 — 144 = 3 * 10 — 12 = 18

  Ответ: 3√100 — √144 = 18.

В 8 классе примеров с корнями очень много. Это значит, что ничего не остается, как выучить все формулы и натренироваться так, чтобы самый оголтелый квадратный корень выпустил белый флаг и запросил пощады.

На уроках математики в онлайн-школе Skysmart ваш ребенок научится извлекать самые неподатливые и громоздкие корни. Записывайтесь на бесплатный вводный урок и учите алгебру с удовольствием.

Источник